Зміст
Що таке прямокутний трикутник
Оскільки сума кутів трикутника дорівнює 180°, то прямокутний трикутник має лише один прямий кут. Два інші кути прямокутного трикутника гострі. Сума гострих кутів прямокутного трикутника дорівнює 180 ° – 90 ° = 90 °.
Сторона прямокутного трикутника, що протилежить прямому куту, називається гіпотенузою, дві інші сторони називаються катетами (рис. 82). Зазначимо наступну ознаку рівності прямокутних трикутників з гіпотенузи та катету:
Якщо гіпотенуза і катет одного прямокутного трикутника відповідно дорівнюють гіпотенузі та катету іншого трикутника, то такі трикутники рівні (рис. 83)
Завдання (43). Доведіть, що у прямокутному трикутнику з кутом 30° катет, що протилежить цьому куту, дорівнює половині гіпотенузи.
Рішення. Нехай ABC — прямокутний трикутник із прямим кутом С та кутом В, рівним 30° (рис. 84). Побудуємо трикутник DBC, що дорівнює трикутнику ABC, як показано на малюнку 84.
У трикутника ABD усі кути дорівнюють (60°), тому він рівносторонній. Оскільки AC = одна друга
AD, а AD = AB,
то АС = одна друга
АВ. Що й потрібно було довести.
Нагадаємо, що прямокутним трикутником називають треуг-к, один із кутів якого дорівнює 90°.
Покажемо кілька малюнків, на яких зображені прямокутні трикутники:
Той кут, який дорівнює 90 ° (його ще називають прямим), відзначається квадратиком.
Чи може трикутний прямокутник мати два чи три прямі кути? Звичайно, ні, тому що сума кутів трикутника повинна дорівнювати 180°. Звідси випливає очевидний факт – ті 2 кути прямокутного трикутника, які не рівні 90 °, повинні бути гострими. Крім того, можна стверджувати, що їх сума рівно 90°.
Завдання.
У прямокутному трикутнику один із кутів дорівнює 40°. Що таке другий гострий кут?
Рішення.
Позначимо невідомий кут як ∠1. Сума гострих кутів повинна дорівнювати 90°, тому можна записати рівняння: складіть рівняння самостійно.
Цю відповідь можна отримати дещо іншим шляхом. Сума всіх кутів трикутника дорівнює 180°. Одна з них має кут 40°, а друга — 90°. Тобто можна скласти таке рівняння: складіть рівняння самостійно.
Перший спосіб відрізняється лише тим, що вимагає більш простих розрахунків.
Відповідь: 50°
Завдання.
Рішення.
Знайдіть усі кути трикутника, який одночасно є і прямокутним, і рівнобедреним.
У будь-якого рівнобедреного трикутника є два однакових кута при підставі.
Зрозуміло, що у прямокутному треуг-ке може бути двох прямих кутів, тому рівні один одному гострі кути. Позначимо величину одного з них як х .
Обидва кути рівні , тому можна записати рівняння: запишіть рівняння самостійно.
Виходить, що в рівнобедреному прямокутному трикутнику два кути дорівнюють 45°, а один – 90°.
Сторони прямокутного трикутника мають особливі назви. Та сторона, яка лежить проти прямого кута, називається гіпотенузою прямокутного трикутника, а інші дві сторони називають катетами.
По малюнку видно, що гіпотенуза довша за катети. І це правило виконується всім прямокутних треуг-ков. Насправді, у будь-якому треуг-ке проти найбільшого кута лежить найбільша сторона. Катети лежать проти гострих кутів, а гіпотенуза проти прямого кута, і тому вона довша.
Завдання.
Рішення.
Доведіть, що у триуг-ке з однієї вершини провести і медіану, і висоту, то медіана буде менше висоти.
Нагадаємо, що висота – це відрізок, опущений на бік під прямим кутом, а медіана – відрізок, проведений до середини протилежної сторони. У принципі, ці два відрізки можуть збігтися один з одним, і тоді їхні довжини дорівнюють. Розглянемо випадок, коли медіана та висота не збігаються:
Позначимо літерою М середину АС, тоді ВМ – медіана. Висоту позначимо як ВН. В результаті у нас утворюється ∆МВН, причому кут на перетині ВН та АC( ∠BHM ) дорівнює 90°. У цьому трикутнику медіана виявляється гіпотенузою, а висота – катетом прямокутного трикутника. Так як гіпотенуза завжди довша катета, то і МВ довше ВН.
Висота прямокутного трикутника
Згадаймо визначення. Висота трикутника це перпендикуляр, опущений з його вершини на протилежну сторону.
У прямокутному трикутнику катети є висотами один до одного. Головний інтерес становить висота, проведена до гіпотенузи.
Один із типів екзаменаційних завдань у банку завдань ФІПД — такі, де у прямокутному трикутнику висота проведена з вершини прямого кута. Подивимося, що виходить:
sin A
cos A
Висота проведена до гіпотенузи AB. Вона ділить трикутник
на два прямокутні трикутники —
і
Дивимося уважно на малюнок і знаходимо на ньому рівні кути . Це і є ключем до завдань з геометрії, у яких висота опущена на гіпотенузу.
Ми пам’ятаємо, що сума двох гострих кутів прямокутного трикутника дорівнює
. Значить,
тобто кут
дорівнює куту
Аналогічно, кут
дорівнює куту
Інакше кажучи, кожен із трьох кутів трикутника
дорівнює одному з кутів трикутника
(і трикутника
). Трикутники
і
називаються такими. Давайте намалюємо їх поряд один з одним.
Вони відрізняються лише розмірами. Сторони таких трикутників пропорційні . Що це означає?
Візьмемо трикутники
та
Сторони трикутника
довші, ніж сторони трикутника
в раз:
Ми довели властивість висоти прямокутного трикутника. Його можна сформулювати як теорему.
Теорема 1. Висота прямокутного трикутника, проведена з вершини прямого кута на гіпотенузу, ділить трикутника на три подібні трикутники:
При вирішенні завдань нам знадобиться рівність кутів трикутників
і
, а також пропорційність їх сторін. Зверніть також увагу, що площу трикутника
можна записати двома різними способами: як половину добутку катетів і як половину добутку гіпотенузи на проведену до неї висоту. У геометрії це називається «метод площ» і часто застосовується у вирішенні завдань.
Завдання 1.
У трикутнику
кут С
дорівнює
CH — висота, BC = 3,
cos A =
Знайдіть AH.
Рішення:
Розглянемо трикутник ABC. У ньому відомі косинус кута A та протилежний катет BC. Знаючи синус кута A, можна знайти гіпотенузу AB. Тож давайте знайдемо sin A:
sin
+cos
=1.
Ця формула – основне тригонометричне тотожність. Звичайно, ви його знаєте:
sin
sin
sin A (оскільки значення синуса гострого кута позитивне).
Тоді:
Розглянемо прямокутний трикутник . Оскільки
Звідси
Відповідь:
Завдання 2.
У трикутнику ABC кут C дорівнює 90 AB = 13, tg A . До гіпотенузи проведена висота СН. Знайдіть AH.
Рішення:
Це трохи складніше завдання. Адже вам невідомі катети a та b.
Запишемо теорему Піфагора: (1)
Нам відомо також, що:
tg A (2)
Вирішуючи рівняння (1) і (2), знайдемо:
Запишемо площу трикутника AВС двома способами:
і знайдемо довжину .
Знайти висоту, проведену з вершини прямого кута, можна було й іншим способом. Ми обрали найкоротший шлях — склали і вирішили систему рівнянь, як у алгебрі.
Теорема 2. У прямокутному трикутнику висота, проведена з вершини прямого кута, дорівнює добутку катетів, поділеному на гіпотенузу.
Доведення:
З прямокутного трикутника ABC з прямим кутом C та гіпотенузою AB:
sin
З прямокутного трикутника AНС із прямим кутом Н і гіпотенузою AС:
sin
Ми різними способами вирахували синус одного й того самого кута. Прирівняємо отримані вирази:
Знайдемо висоту:
Що й потрібно було довести.
Завдання 3. Катети прямокутного трикутника дорівнюють 15 і 20.
Знайдіть висоту, проведену до гіпотенузи.
Рішення:
Скористаємося теоремою 2 про висоту прямокутного трикутника:
Катети ВС і АС нам відомі: BC = 15, AC = 20. Знайдемо гіпотенузу AB за допомогою теореми Піфагора:
Знайдемо висоту, проведену з вершини прямого кута:
Відповідь: 12.
Теорема 3. У прямокутному трикутнику квадрат висоти, проведеної з вершини прямого кута, дорівнює добутку проекцій катетів на гіпотенузу.
Нині ми доведемо цю корисну формулу.
Згадаймо, що таке проекція крапки на пряму. Наприклад, з точки С опускаємо СН – перпендикуляр до прямої АВ. Точка Н буде проекцією точки С. Тоді AН – проекція катета AВ, а BН – проекція катета BС.
Позначимо:
Доказ проведемо двома способами.
Перший спосіб доказу:
З прямокутного трикутника BНС з прямим кутом Н і гіпотенузою BС:
tg
З прямокутного трикутника AНС із прямим кутом Н і гіпотенузою AС:
ctg
Зауважимо, що кут CBН – це кут CBA, а кут CAН – це кут BAC. Тоді:
tg
tg
Ми скористалися тим, що тангенс та котангенс двох різних гострих кутів прямокутного трикутника дорівнюють один одному. Це випливає з визначення тангенсу та котангенсу.
Перетворимо вираз, що вийшов:
Що й потрібно було довести.
Другий спосіб доказу:
Скористаємося подобою трикутників, про які йдеться у теоремі 1.
Розглянемо пару прямокутних трикутників ANC і BNC. Як було показано вище, ці трикутники подібні до двох кутів, тому
Ми отримали таке саме співвідношення, як і в першому способі доказу.
Далі аналогічно отримаємо, що
Що й потрібно було довести.
Завдання 4. На гіпотенузу AB прямокутного трикутника ABC опущена висота CH, AH = 4, BH = 16. Знайдіть довжину CH.
Рішення:
Скористаємося теоремою 3 про висоту прямокутного трикутника:
Підставимо ці завдання.
CH = 8.
Відповідь: 8.
Розберемо розв’язання інших завдань ОГЕ та ЄДІ на тему «Властивості висоти у прямокутному трикутнику».
Завдання 5. Катети прямокутного трикутника відносяться як 3:4, а гіпотенуза дорівнює 50. Знайти висоту, проведену з вершини прямого кута та відрізки, на які гіпотенуза поділяється заввишки.
Рішення:
Розглянемо прямокутний трикутник ABС із гіпотенузою AB. Проведемо висоту CD = h.
З огляду на відношення катетів, позначимо їх довжини як: BC = 3x, AC = 4x.
Тоді за теоремою Піфагора отримаємо:
За умовою гіпотенуза AB=50. Отже, х=10, BC=30, AC=40.
Далі можна діяти у різний спосіб. Наприклад, так.
де за визначенням косинуса:
cos A cos B
Відповідь:
Завдання 6. У прямокутному трикутнику ABC висота CD поділяє гіпотенузу на відрізки AD = 3 см та BD = 2 см. Знайти катети трикутника.
Рішення:
Знайдемо квадрат довжини висоти за допомогою теореми 3:
З прямокутного трикутника ADC з теореми Піфагора знайдемо
див.
З прямокутного трикутника BDC з теореми Піфагора знайдемо
див.
Відповідь: див і див.
Завдання 7. Точка D є основою висоти, проведеної з вершини прямого кута трикутника ABC до гіпотенузи AB. Знайдіть AC, якщо AD = 8, AB = 32.
Вказівка:
Знайдіть відрізок BD = AB – AD, після чого завдання зводиться до попередньої.
Довжину висоти прямокутного трикутника можна знайти, якщо відомі гіпотенуза і один з гострих кутів трикутника.
h = c sin cos = c sin cos
Доведемо цю формулу.
Розглянемо прямокутний трикутник ACD:
У той же час із трикутника AВС:
Таким чином, h = CD = AC cos = AB sin cos = c sin cos
Аналогічно з трикутника BCD отримаємо: h = CD = BC cos = AB sin ? cos = c sin cos ?
Задача 8. У прямокутному трикутнику гіпотенуза дорівнює 10, а один із гострих кутів 15 градусів. Знайти висоту з вершини прямого кута.
Рішення:
Скористаємося доведеною вище формулою:
h = c sin cos = 10 sin cos = 5 sin = 2,5.
Відповідь: 2,5.
Завдання 9. Висота прямокутного трикутника ділить його гіпотенузу на відрізки 6 см і 4 см. Знайдіть площу цього трикутника.
Рішення:
Гіпотенуза прямокутного трикутника дорівнює сумі даних відрізків:
див.
Знайдемо висоту, проведену з вершини прямого кута до гіпотенузи: див.
Площа трикутника:
см
Відповідь:
см.
Усі основні формули площі прямокутного трикутника
Прямокутний трикутник , так само як і будь-який інший трикутник, має три сторони та три кути. Різниця тільки в тому, що один кут прямий, тобто 90 градусів і два інші, гострі кути в сумі складають, теж 90 градусів.
Дві сторони, які формують прямий кут, називають катетами , а третя сторона навпроти прямого кута, називається – гіпотенуза
1. Якщо відомі лише катети
a , b – катети трикутника
Формула площі трикутника через катети ( S ):
2. Якщо відомі гострий кут і гіпотенуза чи катет
c – гіпотенуза
a , b – катети
α , β – гострі кути
Формули площі прямокутного трикутника через гіпотенузу та кут ( S ):
Формули площі прямокутного трикутника через катет та кут ( S ):
Як відомо, сума гострих кутів у прямокутному трикутнику дорівнює 90 градусів, а якщо
то справедливі такі тотожності:
3. Якщо відомі радіус вписаного кола та гіпотенуза
c – гіпотенуза
c 1 c 2 – відрізки отримані розподілом гіпотенузи, точкою торканнякола
r – радіус вписаного кола
О – центр вписаного кола
Формули площі прямокутного трикутника через радіус вписаного кола та гіпотенузу ( S ):
Дякуємо за те, що користуйтесь нашими публікаціями. Інформація на сторінці «Висота у прямокутному трикутнику» підготовлена нашими авторами спеціально, щоб допомогти вам у освоєнні предмета та підготовці до ЗНО. Щоб успішно здати необхідні екзамени та вступити до ВУЗу або коледжу, потрібно використовувати всі інструменти: навчання, контрольні, олімпіади, онлайн-лекції, відеоуроки, збірники завдань. Також ви можете скористатися іншими матеріалами із розділів нашого сайту.